추상대수학에서 중심(中心, 미국 영어: center)은 어떤 대수 구조에서 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 집합이다.
이항 연산
을 가진 대수 구조
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 중심
은 다음과 같은 부분 집합이다.
![{\displaystyle \{z\in X\colon x\cdot z=z\cdot x\forall x\in X\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3abb4aa480fbbdbfc0940a4ac6b4971cb6580a19)
일부 대수 구조의 경우, 이는
의 부분 대수를 이룬다.
중심의 기호는 보통
인데, 이는 중심을 뜻하는 독일어: Zentrum 첸트룸[*]의 머릿글자다.
만약 이항 연산에 대한 항등원
이 존재한다면, 항등원은 항상 중심에 속한다.
![{\displaystyle 1\in Z(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6fb17605ff5a3916f5e88ceee67899b8019962e)
만약 이항 연산이 결합 법칙을 만족시키고, 항등원을 가지며, 어떤 원소
에 대하여 역원
이 존재한다면, 역원 역시 중심에 속한다.
![{\displaystyle z\in Z(X)\implies z^{-1}\in Z(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f324d442b80c27c6c254d7059f67a116c9e1fa)
이는 임의의
에 대하여
![{\displaystyle z^{-1}\cdot x=z^{-1}\cdot x\cdot z\cdot z^{-1}=z^{-1}\cdot z\cdot x\cdot z^{-1}=x\cdot z^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eea26e8221308769fcfa5ea5f333c30fa0c4b49)
이기 때문이다. 그러나 이는 결합 법칙 없이는 성립하지 않는다.
주요 대수 구조의 중심[편집]
군의 중심[편집]
군
의 중심
는
의 아벨 부분군이며, 특히 정규 부분군이다. 아벨 군의 경우,
이다.
모노이드의 중심[편집]
모노이드
의 중심
은 항상 부분 모노이드를 이룬다. 가환 모노이드의 경우,
이다.
환의 중심[편집]
유사환
의 중심은 곱셈
에 대한 중심이다. (덧셈에 대한 중심은 자명하다.) 이는 항상 부분 유사환을 이루며,
는
위의 결합 대수를 이룬다.
환
의 중심은 유사환으로서의 중심과 같다. 이는 항상 부분환을 이루며,
는
위의 단위 결합 대수를 이룬다. 환의 중심은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다.
나눗셈환
의 중심
은 체를 이루며,
는 그 위의 단위 결합 대수를 이룬다.
군의 중심[편집]
대표적인 군의 중심은 다음과 같다.
군 |
중심
|
사원수군 ![{\displaystyle Q_{8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e87378c5c1811891cbc1e5c334b2c1ba4b84d4d) |
|
대칭군 ( ) |
자명군
|
교대군 ( ) |
자명군
|
일반선형군 ![{\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382cc643f4df924f53c5b59b111b750bab70853b) |
|
직교군 ![{\displaystyle \operatorname {O} (n;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2bfcaafa10cce82626088fa7668ba4687c6ecf4) |
|
환의 중심[편집]
사원수의 나눗셈환
의 중심은 실수체
이며, 사원수환은 그 위의 4차원 단위 결합 대수를 이룬다.
행렬환
의 중심은 스칼라 행렬
![{\displaystyle Z(\operatorname {Mat} (n;K))=\{aI_{n\times n}\colon a\in K\}\cong K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ae63849ee60677b6d8b68c7277bcb73826332a)
이다. 행렬환은 이에 따라
위의 단위 결합 대수를 이룬다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]