위상수학에서 내부(內部, 영어: interior)는 원래의 집합에서 경계를 제외하여 얻는 집합이다.
의 내부의 기호는
또는
이다.
위상 공간
의 부분 집합
의 내부
는
를 근방으로 하는 점들로 구성된 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 점
들의 집합이다.
인 열린집합
가 존재한다.
내부의 원소를 내부점(內部點, 영어: interior point)이라고 한다.
열린집합과의 관계[편집]
위상 공간
의 부분 집합
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
는 열린집합이다.
![{\displaystyle A=\operatorname {int} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f66a21bbcfa6f4bc19861411907e95564d57138)
![{\displaystyle A\subseteq \operatorname {int} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18129ee37c1a345b40b775fdd0e4fc029dbeb35a)
반대로
는
의 모든 열린부분집합의 합집합이며, 또한
의 최대 열린부분집합이다.[1]:92-101
폐포와의 관계[편집]
내부와 폐포의 포함 관계는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ece8f5abc6ff0c71cd7168c5df05f8a25deba2)
내부와 폐포는 쌍대 개념이다. 즉, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {int} A=X\setminus \operatorname {cl} (X\setminus A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a74864c35b55d3db72e7665763e4e378f205576)
위상 공간은 그 어떤 부분 집합의 내부와 경계와 외부로 분할할 수 있다.
![{\displaystyle X=\operatorname {int} A\sqcup \partial A\sqcup \operatorname {ext} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf71b276d2c7954f286d976bad18459ac84ec241)
집합 연산과의 관계[편집]
내부는 유한 교집합을 보존한다.
![{\displaystyle \operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} A\cap \operatorname {int} B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936b10dd91d68f93264d389969d362480c3ec4a7)
그러나 무한 교집합 · 유한 합집합 · 무한 합집합은 보존하지 않으며, 이러한 연산과의 관계식은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {int} \bigcap _{i\in I}A_{i}\subseteq \bigcap _{i\in I}\operatorname {int} A_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845d068e5ca58e44cbde81b391b792ac318cc489)
![{\displaystyle \operatorname {int} \bigcup _{i\in I}A_{i}\supseteq \bigcup _{i\in I}\operatorname {int} A_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18aab8333bd8a2d9b44645ed91d2444cefccce4)
기저와의 관계[편집]
위상 공간
의 기저
가 주어졌을 때, 부분 집합
및 점
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
![{\displaystyle x\in \operatorname {int} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bbbf7d40e35df9af9824326b95ad0b8e28c537)
인
가 존재한다.
즉,
는
에 포함되는 기저 원소들의 합집합이다.
실수선
의 표준적인 위상은 순서 위상이며, 이는 모든 열린구간을 기저로 한다. 이 경우 내부를 취하는 연산이 무한 교집합을 보존하지 않는 예를 다음과 같이 들 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {int} \bigcap _{n=1}^{\infty }\left[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right]=\varnothing \subsetneq \{0\}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\operatorname {int} \left[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b2903373a502e175fc9b03ca9c811355c8a68b)
또한 내부를 취하는 연산이 합집합을 보존하지 않는 한 가지 예는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {int} ([0,1]\cup [1,2])=(0,2)\supsetneq (0,1)\cup (1,2)=\operatorname {int} [0,1]\cup \operatorname {int} [1,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1902926177c752bf54abda7ce7b836ac7a86dbd4)
스콧 위상[편집]
연속 dcpo
위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 임의의
의 상폐포의 내부는 다음과 같다.[2]:136, Proposition II-1.6
![{\displaystyle \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a=\mathop {\Uparrow } a=\{b\in P\colon b\gg a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d25822ecee13692e20bc7ffddda09d43b757bb)
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]