초등대수학에서 이항 정리(二項定理, 문화어: 두마디공식, 영어: binomial theorem)는 이항식의 거듭제곱을 이항 계수를 계수로 하는 일련의 단항식들의 합으로 전개하는 정리이다. 이항 정리를 사용하면 더욱 편리하게 계산할 수 있다.
파스칼의 삼각형의 처음 5줄
이항 정리에 따르면, 이변수 복소수 다항식
을 다음과 같이 전개할 수 있다.
![{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=x^{n}+nx^{n-1}y+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}y^{2}+\cdots +y^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49296690f9b27829fdf32c9695d1f45952c0dd5)
여기서
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30122664d47cde4fb1089634fe21dfc520dde97d)
는 이항 계수이며,
개에서
개를 고르는 조합의 가짓수이다. 이항 계수는 파스칼의 삼각형의 원소들인데, 이 삼각형에 배열되었을 때, 이항 계수는 좌우 대칭을 띠며, 각 원소는 바로 위의 두 이웃 원소의 합이다.
조합론적 증명[편집]
의 전개는 다음과 같은
개의 항으로 이루어진다.
![{\displaystyle e_{i1}e_{i2}\cdots e_{in}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12faa643f3a7e90eb94ea3aa52d2fecf29637d98)
여기서
![{\displaystyle e_{ij}\in \{x,y\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f607162fe4e8ff4be7eac5524f06a472be18ddb)
![{\displaystyle i=1,2,\dots ,2^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9982c6e223cf39ccc980be4b94ee3ee10ddf6b18)
또한,
꼴의 항의 개수는
개에서
개를 고르는 조합의 가짓수와 같으며, 즉 이항 계수
와 같다. 이는 각 항이
의 부분 집합과
![{\displaystyle e_{i1}e_{i2}\cdots e_{in}\mapsto \{j\in \{1,2,\dots ,n\}\colon e_{ij}=y\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6b029f99ad16f227b22298e90546e8660e3ef8)
와 같이 일대일 대응하며, 이 경우
꼴의 항들은
의
원소 부분 집합들과 일대일 대응하기 때문이다. 따라서, 이항 정리가 성립한다.
수학적 귀납법을 통한 증명[편집]
이항 계수의 항등식
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32bb8ea0a099404ffeb791a9597857fbcc9fe53a)
및 지수
에 대한 수학적 귀납법을 통해 이항 정리를 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선,
의 경우 자명하게 성립한다. 즉,
![{\displaystyle (x+y)^{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6081aa634972184d258547a72d461b8612d811f0)
이제,
에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면,
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=(x+y)(x+y)^{n}\\&=(x+y)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=x\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}+y\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n+1-k}y^{k}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}x^{n+1-k}y^{k}\\&=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left({\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\right)x^{n+1-k}y^{k}+y^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b556857953b965666809480f6626ec9e170ce31f)
즉,
에 대하여 성립한다. 수학적 귀납법에 따라, 이항 정리는 임의의
에 대하여 성립한다.
몇 가지 작은 지수의 경우의 이항 정리는 다음과 같다.
![{\displaystyle (x+y)^{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6081aa634972184d258547a72d461b8612d811f0)
![{\displaystyle (x+y)^{1}=x+y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e654a4946b39c81a07e29a20b0fdc038418df04)
![{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0111b619a713abcef925f71a14b68d6d011741cb)
![{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef84ef41d7b7478b42ef256688e509f8d512b6b1)
![{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95375a9d6e4129f1399a4490526e5eb437ca607)
임의의 복소수를
와
에 대입해도 성립한다. 다만 지수 0의 경우 00 = 1이라고 가정해야 한다.
관련 정리[편집]
일반화된 이항 정리[편집]
이항식을 거듭제곱하는 지수를 임의의 복소수
까지 확장할 수 있다. 이렇게 일반화된 이항 정리에선 전개가 무한 급수가 되며, 다음과 같다.
![{\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{\alpha -k}y^{k}=x^{\alpha }+\alpha x^{\alpha -1}y+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{\alpha -2}y^{2}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5603e0519b69f3eabb152029385cae2b7eefb630)
여기서
![{\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c27f84b75373dcacf89c03452196549121e7ffe)
는 일반화된 이항 계수이다. 이항 정리는 일반화된 이항 정리에서
인 특수한 경우이다.
일 경우, 이 등식은
일 때 성립하며,
일 때 성립하지 않으며,
일 때의 성립 여부는
의 값에 따라 다르다.
다항 정리[편집]
이항식 대신 여러 항의 다항식을 사용하면 다항 정리를 얻으며, 다음과 같다.
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}\in \mathbb {N} }^{k_{1}+k_{2}+\cdots k_{m}=n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m}!}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5f8cad641756a14b70688486618c7eddc168a7)
이를 다중지표를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{K\in \mathbb {N} ^{m}}^{|K|=n}{\binom {n}{K}}x^{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9ad0084cc90a1c7e3e472e2e9bcdd5e0d94ebd)
이항 정리는 다항 정리에서
인 특수한 경우이다.
다중 이항 정리[편집]
하나의 이항식의 거듭제곱 대신 여러 (중복이 가능한) 이항식들의 곱을 사용하면 다중 이항 정리를 얻으며, 다음과 같다.
![{\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}(x_{2}+y_{2})^{n_{2}}\cdots (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\sum _{k_{2}=0}^{n_{2}}\cdots \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{n_{1}-k_{1}}y_{1}^{k_{1}}{\binom {n_{2}}{k_{2}}}x_{2}^{n_{2}-k_{2}}y_{2}^{k_{2}}\cdots {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{n_{d}-k_{d}}y_{d}^{k_{d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602c45d42ff9dca0242f38fbaa0f45b4af7459c8)
이를 다중지표를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
![{\displaystyle (x+y)^{N}=\sum _{K\in \mathbb {N} ^{d}\colon K\leq N}{\binom {N}{K}}x^{N-K}y^{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501743ea12dfee6f6c65e925ad9f2fbfa0bbdb71)
이항 정리는 다중 이항 정리에서
인 특수한 경우이다.
가환환의 경우[편집]
이항 정리는 임의의 가환환의 원소를 계수로 하는 다항식에 대해서도 성립한다. 이항 정리는 복소수 다항식에 대한 특수한 경우이다.
이항계수가 삼각형의 형태로 배열되는 이 식은 종종 17세기 블레즈 파스칼의 공적으로 알려져 있으나 실제로는 이슬람, 남아시아, 동아시아 문화권 모두에서 독립적으로 미리 발견되어 있었다. 시기와 발견자는 각각 10세기 인도 수학자 할라유다, 페르시아 수학자 알카라지[1]와 13세기 중국의 수학자 양휘였다.[2]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]