선형대수학에서, 선형 변환의 계수(階數, 영어: rank)는 선형 변환의 비(非) 퇴화 정도를 나타내는 기수이다. 기호는
또는
.[1]
체
위의 벡터 공간
위의 선형 변환
의 계수
는
의 상의 차원이다.
![{\displaystyle \operatorname {rank} T=\dim T(V)\in \operatorname {Card} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14cfaa099b4baa7b836f6d40f04ddbc5504113a)
체
위의
행렬
의 계수
는 다음과 같은 여러 가지 정의를 가지며, 이들은 모두 서로 동치이다.
- 열벡터의 왼쪽에
를 곱하는 선형 변환
의 계수. 즉, 열공간의 차원.
![{\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} (A\cdot )=\dim\{Ax\colon x\in K^{n}\}=\dim \operatorname {Span} \{(A_{1j},\dots ,A_{mj})\}_{j=1}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13571039f7a6af561a97b5e8db74aa9fc8a78276)
- 행벡터의 오른쪽에
를 곱하는 선형 변환
의 계수. 즉, 행공간의 차원.
![{\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} (\cdot A)=\dim\{x^{\operatorname {T} }A\colon x\in K^{m}\}=\dim \operatorname {Span} \{(A_{i1},\dots ,A_{in})\}_{i=1}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11bdd4acfbbc610b5dc05f2cfa0337ada2b5f71)
- 열벡터 집합의 극대 선형 독립 집합의 원소 개수. 즉, 열벡터로 이루어진 선형 독립 집합 가운데, 열벡터를 하나라도 더 추가하면 선형 종속 집합이 되는 것의 원소 개수. 이러한 집합은 항상 존재하며, 일반적으로 유일하지 않다. 그러나 이러한 집합들의 원소 개수는 항상 같다.
![{\displaystyle \operatorname {rank} A=|S|\qquad (S\subseteq \{(A_{1j},\dots ,A_{mj})\}_{j=1}^{n},\;\forall s\in S\colon s\not \in \operatorname {Span} (S\setminus \{s\}),\;\forall s\in \{(A_{1j},\dots ,A_{mj})\}_{j=1}^{n}\colon s\in \operatorname {Span} (S))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da2e1ca1c9568385d74e6841c078ec60bdf9756)
- 행벡터 집합의 극대 선형 독립 집합의 원소 개수. 즉, 행벡터로 이루어진 선형 독립 집합 가운데, 행벡터를 하나라도 더 추가하면 선형 종속 집합이 되는 것의 원소 개수. 이러한 집합은 항상 존재하며, 원소 개수는 항상 같다.
![{\displaystyle \operatorname {rank} A=|S|\qquad (S\subseteq \{(A_{i1},\dots ,A_{in})\}_{i=1}^{m},\;\forall s\in S\colon s\not \in \operatorname {Span} (S\setminus \{s\}),\;\forall s\in \{(A_{i1},\dots ,A_{in})\}_{i=1}^{m}\colon s\in \operatorname {Span} (S))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef264e3436feb1c9a9be2e20faab97be1876424)
- 0이 아닌 소행렬식의 최대 차수
![{\displaystyle \operatorname {rank} A=\max\{|I|=|J|\colon \det(A_{I,J})\neq 0,\;I\subseteq \{1,\dots ,m\},\;J\subseteq \{1,\dots ,n\}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949b059eb007e333bed5e9e0fcd9759070b4cb66)
계수는 행렬의 여러 성질과 관련되며, 계수가 높을수록 행렬의 퇴화 정도가 덜하다. 체
위의
행렬
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 영행렬이다.
![{\displaystyle \operatorname {rank} A=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274b351edd46747cd430542b6e4657c9a747c72e)
또한,
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 단사 함수이다.
![{\displaystyle \operatorname {rank} A=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67569baa1c9c19be073a8b3379afdd063f6d6cf1)
또한,
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 전사 함수이다.
![{\displaystyle \operatorname {rank} A=m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814107d409bdf2e509647718ad622c60183bbcc7)
특히,
행렬
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 가역 행렬이다.
![{\displaystyle \operatorname {rank} A=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67569baa1c9c19be073a8b3379afdd063f6d6cf1)
계수-퇴화차수 정리[편집]
체
위의
행렬
에 대하여, 다음의 계수-퇴화차수 정리(영어: rank-nullity inequality)가 성립한다.
![{\displaystyle \dim \ker A+\operatorname {rank} A=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c14b65a1d380f43ce315c5ce690c0bc5ebea28a)
항등식과 부등식[편집]
- 행렬의 계수는 행의 수와 열의 수 이하이다. 즉, 체
위의
행렬
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {rank} A\leq \min\{m,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb22d4287cf97309ed9db9eeeb1c89ef201ca2d9)
- 체
위의
행렬
,
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} A+\operatorname {rank} B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db7c94a498ac61657843a2e29f08d70dfecac5e)
- 체
위의
행렬
및
행렬
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {rank} (AB)\leq \min\{\operatorname {rank} A,\operatorname {rank} B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb5791a6145a03a62c388ad9951380d9a62bd3a)
- 체
위의
행렬
및
행렬
에 대하여, 다음의 실베스터 부등식(영어: Sylvester's inequality)이 성립한다.[2]
![{\displaystyle \operatorname {rank} (AB)\geq \operatorname {rank} A+\operatorname {rank} B-n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9470a8d55b49414fb9eebfdcb2b63a6a78c48243)
- 체
위의
행렬
및
행렬
및
행렬
에 대하여, 다음의 프로베니우스 부등식(영어: Frobenius' inequality)이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {rank} (ABC)\geq \operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)-\operatorname {rank} B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e254b4a03f775403b8347a159b07342b7977cf)
- 실수체
위의
행렬
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} A^{\operatorname {T} }=\operatorname {rank} (A^{\operatorname {T} }A)=\operatorname {rank} (AA^{\operatorname {T} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267cbd385d73de8dcec22e4afa330f912411b987)
- 복소수체
위의
행렬
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} {\bar {A}}=\operatorname {rank} A^{\operatorname {T} }=\operatorname {rank} A^{*}=\operatorname {rank} (A^{*}A)=\operatorname {rank} (AA^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92835d301ef8c87f1b90092e30baabe422797906)
의 계수를 계산하는 가장 간단한 방법은 가우스 소거법을 이용하는 것이다. 가우스 소거법을 행하여 행렬을 행 사다리꼴 형태로 만들어도 계수는 보존된다. 이때 0이 아닌 행의 숫자가 곧 행렬의 계수가 된다.
예를 들어 다음과 같은 4×4 행렬에서
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&4&1&3\\-1&-2&1&0\\0&0&2&2\\3&6&2&5\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c38af5feaa43c16b46075dc58883491ec95f487)
첫 번째 열과 세 번째 열은 선형독립이지만, 두 번째 열은 첫 번째 열의 두 배와 같고 네 번째 열은 첫 번째 열과 세 번째 열의 합과 같으므로
의 계수는 2이다. 가우스 소거법을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca723a109d8f33eeae29b281de241ddb77e90400)
이때 0이 아닌 행이 두개임을 확인할 수 있다.
컴퓨터에서 부동소수점 연산을 행할 때 가우스 소거법은 부정확한 결과를 내놓을 확률이 높으므로, 특이값 분해를 통해 계수를 계산할 수 있다. 혹은 가우스 소거법보다 좀 더 안정적이고 특이값 분해보다는 빠른 QR 분해를 사용할 수도 있다.
동치 표준형[편집]
행렬의 동치 표준형은 그 계수에 따라 완전히 결정된다. 즉, 두 행렬이 동치일 필요충분조건은 계수가 같은 것이다. 체
위의
행렬
의 동치 표준형은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{\operatorname {rank} A}&0\\0&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b522973013088bdc53b866688222d325a7121c)
같이 보기[편집]
- ↑ Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004, 495쪽.
- ↑ 같은 책, 494쪽.
외부 링크[편집]