선형대수학에서 시프트 행렬(영어: shift matrix)은 초대각선 또는 준대각선의 모든 원소가 1이며 이를 제외한 모든 원소가 0인 정사각 행렬이다.
체
위의
상시프트 행렬(영어: upper shift matrix)
및 하시프트 행렬
은 다음과 같이 정의된다.
![{\displaystyle (U_{n})_{ij}=\delta _{i+1,j}={\begin{cases}1&j=i+1\\0&j\neq i+1\end{cases}}\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13decc19086d9826119518dae2105f0f3dfa226)
![{\displaystyle (L_{n})_{ij}=\delta _{i,j+1}={\begin{cases}1&i=j+1\\0&i\neq j+1\end{cases}}\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1bd754d98062273231c35bf00b7f2b6bd37bc3)
여기서
는 크로네커 델타이다. 예를 들어,
상시프트 행렬
및 하시프트 행렬
는 다음과 같다.
![{\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}},\;L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782ca73c3a53a26977398dbd3150e0647e670091)
체
위의
상·하시프트 행렬
의 왼쪽 곱셈은 다음과 같다.
![{\displaystyle U_{m}\cdot \colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9010b4d32dfdd5e3853ff82313cfb00da1651cae)
![{\displaystyle U_{m}\cdot \colon {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n-1}\\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{2}\\x_{3}\\\vdots \\x_{n}\\0_{1\times n}\end{pmatrix}}\qquad \forall x_{1},\dots ,x_{n}\in \operatorname {Mat} (1,n;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3897679f808ee8d4c6166bd645178e8fdd208d5a)
![{\displaystyle L_{m}\cdot \colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6add384b03bf727822d7dfc3f4590099b0e76b61)
![{\displaystyle L_{m}\cdot \colon {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n-1}\\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0_{1\times n}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n-2}\\x_{n-1}\end{pmatrix}}\qquad \forall x_{1},\dots ,x_{n}\in \operatorname {Mat} (1,n;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67aded5f0bebf3a67de12f14630a950cba159f6f)
체
위의
상·하시프트 행렬
의 오른쪽 곱셈은 다음과 같다.
![{\displaystyle \cdot U_{n}\colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcb65a2bc82dfed62be0bc87f2f4e27d34fb6bd)
![{\displaystyle \cdot U_{n}\colon {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n-1}&x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0_{m\times 1}&x_{1}&\cdots &x_{n-2}&x_{n-1}\end{pmatrix}}\qquad \forall x_{1},\dots ,x_{n}\in \operatorname {Mat} (m,1;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6359ed2023733272bec3e2c38ff2a86680b15755)
![{\displaystyle \cdot L_{n}\colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85621e8cb7163fc498715c68784175f990470ae3)
![{\displaystyle \cdot L_{n}\colon {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n-1}&x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}&0_{m\times 1}\end{pmatrix}}\qquad \forall x_{1},\dots ,x_{n}\in \operatorname {Mat} (m,1;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5d07a0f822e29356e5fc18f7293bf9fbffc627)
체
위의
상시프트 행렬 및 하시프트 행렬
은
을 멱영 지수로 하는 멱영 행렬이다.
![{\displaystyle U_{n}^{n}=0_{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c6def13c94f6cfc76bd9e72043b8a89b3c0369)
![{\displaystyle L_{n}^{n}=0_{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2581ddd19e96e9ab0155c8e203d7ef7fa31a2872)
![{\displaystyle U_{n}^{n-1}=E_{1n}=(\delta _{i,1}\delta _{j,n})_{i,j=1}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0faa81c0713239b42c354ff69b6901ceb33c72e)
![{\displaystyle L_{n}^{n-1}=E_{n1}=(\delta _{i,n}\delta _{j,1})_{i,j=1}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c14230f3b427e0afa3a31ff9626fad47a2ae774)
행렬
![{\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910860afbb685de9b546dae044f66321af8115c8)
이 주어졌다면,
![{\displaystyle U_{5}M={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30e442c86c641241437db6f095352f843b411e8)
![{\displaystyle L_{5}M={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f9571d647de85688823af7302053d922922089)
![{\displaystyle MU_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\0&1&2&2&2\\0&1&2&3&2\\0&1&2&2&2\\0&1&1&1&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c154a1dd0dc70b854b6f6c4f3fa424eff72468d)
![{\displaystyle ML_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d966e79d056f694c6f6dfdaef19731bcbf4cf2)
이다.
같이 보기[편집]