실해석학에서 유계 변동 함수(有界變動函數, 영어: function of bounded variation)는 특정한 위치에서 변화할 수 있는 범위가 제한된 함수이다.
1차원 유계 변동 함수[편집]
닫힌구간
의 분할은 다음과 같은 수열이다.
![{\displaystyle P=(p_{0},p_{1},p_{2},\dots ,p_{|P|})\qquad (a=p_{0}\leq p_{1}\leq p_{2}\leq \dotsb \leq p_{|P|}=b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ee0b39de0ad9b94a3823ec3e67a7782b815733)
닫힌구간
의 모든 분할들의 집합을
라고 적자. 이는 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle \operatorname {Part} ([a,b])=\bigsqcup _{N=1}^{\infty }\operatorname {Part} _{N}([a,b])\cong \bigsqcup _{N=1}^{\infty }\triangle ^{N-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61fd16d243aba0e2efc671f87d181900cf99b862)
여기서
은 크기
의 분할들의 공간이며, 이는
차원 단체
와 동형이다.
임의의 함수
![{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ab61178bf5349838758ffe3d96135406ed0245)
및 분할
에 대하여, 변동
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{|P|}\|f(p_{i})-f(p_{i-1})\|\in [0,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa0abb37c16aa72f8308875771c286b7ff96664)
을 정의할 수 있다.
의 전변동(全變動, 영어: total variation)
는 모든 변동들의 상한이다.[1]:530
![{\displaystyle \operatorname {V} (f)=\sup _{P\in \operatorname {Part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{|P|}\|f(p_{i})-f(p_{i-1})\|\in [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469c44442ffd34f7e3db2802a59f5dbb96124503)
임의의 함수
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치임을 보일 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {V} (f)<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd02110a16cc7682d6f6011980f4a58d5ae5057)
인 두 증가 함수
,
가 존재한다.
- 연속 함수의 공간
위에 유계 작용소
,
를 정의한다. (이 적분은 르베그-스틸티어스 적분이다.)
이 조건을 만족시키는 함수를 유계 변동 함수라고 한다.[1]:530
유계 변동 함수들의 공간을
로 표기하자. 그렇다면,
는 노름 공간을 이룬다.
다차원 유계 변동 함수[편집]
유계 열린집합
이 주어졌다고 하자. 임의의 함수
의 전변동을 다음과 같이 정의하자.
![{\displaystyle \operatorname {V} (f)=\sup _{\mathbf {g} \in X}\int _{\Omega }f(x)\nabla \cdot \mathbf {g} (x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c839bb8642be787d359a5d85dd454178f90058)
여기서
![{\displaystyle X=\operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{\operatorname {L} ^{\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}))}(0,1))\cap {\mathcal {C}}_{\text{comp}}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1878c75cd1e901b41569cadfb06820337c2063c)
는 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수
로 구성된 공간이다.
- 연속 미분 가능 함수이다 (
).
- 어떤 콤팩트 집합
에 대하여,
이다.
- 노름이 1 이하이다. 즉,
이다. 여기서
은 유클리드 공간의 르베그 측도이다. (즉,
의
-노름이 1 이하이다.)
그렇다면, 전변동이 유한한 함수들의 공간을
라고 하자.
![{\displaystyle \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )=\{f\in \operatorname {L} ^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )\colon \|f\|_{\operatorname {BV} }<\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083251ec2c011eb0fb1e7216504c9ff57f7a46b6)
그렇다면, 그 위에
![{\displaystyle \|f\|_{\operatorname {BV} }=\|f\|_{\operatorname {L} ^{1}}+\operatorname {V} (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ca01642681f4562d38ac952faeee788d7bd3a1)
를 정의하면, 이는 바나흐 공간을 이룬다.
연산에 대한 닫힘[편집]
임의의 열린집합
에 대하여, 만약
라면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle f+g\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05fcd2fcdfa1859802fdc3729fa9469391eaf689)
![{\displaystyle fg\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf89d2f604a3d993721c154c32ef7a5fe4fa647)
![{\displaystyle (|f|+a)^{-1}\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )\qquad \forall a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c436c8ff7164d63b7fc902b0b6c37dcf3e94a55e)
포함 관계[편집]
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp}}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89979253d58a7f5170fb20c98dc5f404cd8f6c27)
그러나
![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp}}^{0}(\Omega ,\mathbb {R} )\not \subseteq \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb203b3ca33aaede772842013c0e756b60a3b0b)
이다. 즉, 콤팩트 공간 위에서, 연속 미분 가능 함수는 유계 변동 함수이지만, 연속 함수는 유계 변동 함수가 아닐 수 있다.
전변동[편집]
만약
일 경우, 그 전변동은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {V} f=\int _{a}^{b}\,|f'(x)|\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52bcba0dff2d600318d902dba675dd41bcc582e8)
마찬가지로, 만약 어떤 열린집합
에 대하여
가 콤팩트 집합이며,
가 어떤 매끄러운 다양체의
매장이라면,
의 경우
는 유계 변동 함수이며,
![{\displaystyle \operatorname {V} (f\upharpoonright \Omega )=\int _{\Omega }|\nabla f|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a057717803bb501b640cbf1df847bce39b407f6)
이다.
특이점[편집]
유계 변동 함수
는 두 증가 함수의 차이므로,
의 가산 개 점을 제외한 곳에서 f는 연속이며, [a, b]의 거의 어디서나 f의 도함수가 존재한다 (르베그 미분가능성 정리 참조). 또한 |f'|는 르베그 적분 가능하다.
분해 불가능성[편집]
는 분해 가능 공간이 아니다.
증명:
임의의
에 대하여, 지시 함수
![{\displaystyle 1_{[\alpha ,b]}\in \operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75aa310b252e3ef780e0a33e3d38b7583de9c3f0)
를 생각하자. 이 경우, 다음이 성립함을 알 수 있다.
![{\displaystyle \|1_{[\alpha ,b]}-1_{[\beta ,b]}\|_{\operatorname {BV} }=2+|\alpha -\beta |\qquad \forall \alpha ,\beta \in [a,b],\;\alpha \neq \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc9215722eaa3051147d9cd730823f5df9e5e55e)
이제, 임의의
에 대하여 열린 공들의 족
![{\displaystyle \operatorname {ball} (1_{[\alpha ,b]},1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000a5cb52dd09ad714c8dcca3b425ef3ce637211)
을 생각하자. 이들은 비가산 무한 개의 열린집합으로 구성된 서로소 집합족을 이루며, 따라서
는 분해 가능 공간이 아니다.
다음과 같은 함수는
에서 유계 함수이고
에서 연속 함수지만,
에서 유계 변동 함수가 아니다.
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x=0\\\sin(1/x)&x\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eaeb060713ecd9c1063ccafefc046aa5f7c68c2)
![{\displaystyle \operatorname {V} (f)=\int _{0}^{1}|x^{-1}\cos x^{-1}|\,\mathrm {d} x=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9aa6b7068e9606624f1abe25b9d56b6cb02dee5) |
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다음과 같은 함수는
에서 유계 함수이고
에서 연속 함수지만
에서 유계 변동 함수가 아니다.
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x=0\\x\sin(1/x)&x\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3add169afeec7453f88743a0bae463279e0392)
![{\displaystyle \operatorname {V} (f)=\int _{0}^{1}|\sin x^{-1}-x^{-1}\cos x^{-1}|\,\mathrm {d} x=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8cba55202758378bc4e565da606d8b2dd89f027) |
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다음과 같은 함수는
에서 유계 함수이고, 연속 함수이며, 유계 변동 함수이다.
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x=0\\x^{2}\sin(1/x)&x\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb959817e379d00d1e83a04f39f2528ae9f3f2c)
![{\displaystyle \operatorname {V} (f)=\int _{0}^{1}|2x\sin x^{-1}-\cos x^{-1}|\,\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}(2x+1)\,\mathrm {d} x=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a9f110eebe07b63677c57b131477a3deee7999) |
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같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- ↑ 가 나 Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett Mathematics, 2001
외부 링크[편집]