이론물리학에서 이중 장론(二重場論, 영어: double field theory, DFT)은 끈 이론에서 유래하는 고전적 중력 이론의 일종이다.[1] 이 이론은 중력장과 2차 미분 형식 게이지장을 포함하며, T-이중성을 만족시킨다. T-이중성을 만족시키기 위하여,
차원 시공간을 묘사하기 위하여
차원의 매끄러운 다양체를 사용한다.
시공간[편집]
일반적으로, 다음과 같은 데이터를 생각하자.
차원 실수 벡터 공간
및 그 위의 비퇴화 이차 형식 ![{\displaystyle \eta \colon V\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90ab437f3f13023df37a0dda1c93e48419cf1eca)
- 두 리 군
. 또한, 다음 가환 그림이 성립한다고 하자.
![{\displaystyle {\begin{matrix}H&\to &G\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {O} (V,\eta )&\to &\operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d09a049df8ad02b1e08ab6d1295c402d1536c45)
차원 매끄러운 다양체
및 그 접다발의 구조군
. 즉, 어떤
-주다발 (틀다발)
및 벡터 다발의 동형 사상
이 주어져 있다.
- 접다발의,
로의 구조 축소. 즉,
-주다발
및 벡터 다발의 동형 사상
.
의 접다발 지표를
,
의 지표를
로 표기하면,
의 데이터는 각 점에서 국소적으로 다음과 같다.
![{\displaystyle \mathrm {T} _{x}M\to V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c38a67106efca663f6eaafdd4cfd481410ec41)
![{\displaystyle X^{M}\mapsto E_{M}^{A}X^{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fafd6d76b8a4a51fb7d20a929413bfb0ecd9a50)
이제,
는 다음과 같은 준 리만 다양체 구조
를 정의한다. (그 부호수는
의 부호수와 같다.)
![{\displaystyle G_{MN}=\eta _{AB}E_{M}^{A}E_{N}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5509345799b0e83fbb1da374af7e16e585eff66)
이제,
에 다음과 같은
-게이지 대칭을 부여하자.
![{\displaystyle E^{A}{}_{M}\mapsto T^{A}{}_{B}E_{M}^{B}\qquad (T\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,H))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db348f667ef6f2c473cbfd74f5ccc46fd25447a5)
그렇다면,
는 각 점에서 물리적으로 동차 공간
![{\displaystyle {\frac {G}{H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820d38d751c06d3b3b84b8ab2d8c53fe784ec8)
의 원소를 나타내게 된다. 또한, 계량 텐서
는 (
이므로) 게이지 불변이다.
이제, 위 구성에서 다음과 같은 특수한 경우를 생각할 수 있다.
이론 |
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b) |
![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b) |
![{\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(G/H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc03eb210164f2fe9852fbe58c3d2e484153169d) |
물리적 해석
|
일반 상대성 이론
|
![{\displaystyle \operatorname {GL} (D;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bc20b94f082e6263d7551c2f286ed034b183df8) |
![{\displaystyle \operatorname {O} (1,D-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8fd91dd7ff3334850edf229d939082b4f297298) |
![{\displaystyle D(D+1)/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f323c728c6f072279b42ada8d89238e2f8f516) |
로런츠 계량 텐서
|
이중 장론 ( )
|
![{\displaystyle \operatorname {O} (d,d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb9c9086d337167590a6b8001d2c0fb404a2a68) |
![{\displaystyle \operatorname {O} (1,d-1)\times \operatorname {O} (1,d-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cfb4f269de52a14f4dabcf4eb32113f44d7d55b) |
![{\displaystyle d^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0309e83b9f8917fb33be7c0c04fd6d871a4135) |
차원 계량 텐서 및 차원 2차 미분 형식
|
즉,
인 경우는
차원 일반 상대성 이론의 필바인에 해당한다. 반면,
인 경우, 이는
개의 성분을 가지며, 이는
대칭 행렬(중력장)과
반대칭 행렬(캘브-라몽 장)로 분해될 수 있다.
계량의 분해[편집]
구체적으로, 필바인
에 의하여 정의되는 계량 텐서
![{\displaystyle G_{MN}=\eta _{AB}E_{M}^{A}E_{N}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5509345799b0e83fbb1da374af7e16e585eff66)
를 생각하자. 물리적으로, 이는 중력장과 캘브-라몽 장을 나타낸다.
편의상,
를 다음과 같이 만드는 게이지를 선택하자.
![{\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}0&1_{d\times d}\\1_{d\times d}&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8208192a4c93cf3712c041b0c02c5f3a2dcd458b)
즉, 이는 분해
![{\displaystyle V=V_{+}\oplus V_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9396902f6200d9668fe3350bbbc4d8ba252b7e56)
![{\displaystyle \dim V_{+}=\dim V_{-}=d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4abf370b05d7a567f1c6ff0656cec948a154702)
![{\displaystyle \eta _{\pm }\colon V_{\pm }\to V_{\mp }^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ef11da75c559edfdcc0b685c786742ef761b8d)
를 정의한다. (물론, 이러한 게이지는 일반적으로 유일하지 않다.)
는 매끄러운 다양체
의 국소 모형이므로, 이는 마찬가지로 각 점에서 접공간
의 마찬가지 분해
![{\displaystyle \mathrm {T} M=\mathrm {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/893ec0363237639b34937d7e9f448b03acf5ee16)
를 정의한다.
이러한 게이지에서,
의 원소
![{\displaystyle H^{N}{}_{P}\in \operatorname {O} (d,d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/070dc2722a5d176eb6460a22ca04b1029a8dc320)
![{\displaystyle \eta _{MN}H^{N}{}_{P}={\begin{pmatrix}g^{-1}&-g^{-1}b\\bg^{-1}&g-bg^{-1}b\end{pmatrix}}\in \operatorname {O} (d,d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869fa12e54efba38e3fc28c20787eb8d36bc3c17)
를 정의할 수 있다. 여기서,
는 중력장을 나타내며,
는 2차 미분 형식인 캘브-라몽 장이다.
이 시공간에서는 일반적으로 공변 미분이 존재하지 않는다. 더 엄밀히 말하자면,
및
와 호환되는 코쥘 접속의 개념을 도입할 수 있지만,[1]:§4.2 크리스토펠 기호의 모든 성분이 물리학적 의미를 갖는 일반 상대성 이론과 달리 이 접속은 물리학적으로 결정되지 않는 성분들을 포함하며,[1]:§4.2, Table 1 이에 따라 임의의 선택이 필요하다. 이에 대한 리만 곡률도 마찬가지다.
필바인[편집]
일반 상대성 이론과 마찬가지로, 다음과 같이 필바인을 도입할 수 있다.[1]:(3.52), (3.53) 필바인은 다음과 같은 동차 공간의 원소이다.
![{\displaystyle E\in {\frac {\operatorname {O} (d,d)}{\operatorname {O} (1,D-1)\times \operatorname {O} (1,d-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e4a8844d1ff73450d3ce0f8d45961adeefdadf)
여기서
은
의 블록 대각 행렬 부분군이다.
즉, 이는 대표원
![{\displaystyle E_{M}^{A}\in \operatorname {O} (d,d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66187c2b978ae24e83a396f09164c9c4381f3ed)
에 의하여 결정되며, 이는 게이지 변환
![{\displaystyle E_{M}^{A}\mapsto L^{A}{}_{B}E_{M}^{A}\qquad (L^{A}{}_{B}\in \operatorname {O} (1,D-1)\times \operatorname {O} (1,D-1))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc6328095706d38d15649f39dc80141753a2f29)
을 겪는다. 여기서
는 필바인 지표를 뜻한다. 이 대표원에 대응되는 리만 계량 텐서는
![{\displaystyle H_{MN}=E^{A}{}_{M}H_{AB}E^{B}{}_{N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237bc2b1dc884e034d767ea2ecb349205365f5a7)
이다.
필바인이 주어졌다면, 다음과 같은 일반화 바이첸뵈크 접속(영어: generalized Weitzenböck connection)을 정의할 수 있다.[1]:(3.59)
![{\displaystyle \Omega _{ABC}=-\Omega _{ACB}=E_{A}{}^{M}\partial _{M}(E_{B}{}^{N}E_{C}{}^{P}\eta _{PN})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8d0fb4e54f1478517206ee456b991a557edc20)
이중 장론에서는 다음과 같은 작용을 사용한다.[1]:(3.60)
![{\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{2D}x\,\exp(-2\phi )(S_{1}+S_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200b92a22354dd070b73958403cc28a916677940)
여기서
![{\displaystyle S_{1}=9\Omega _{[ABC]}\Omega _{[DEF]}\left({\frac {1}{4}}H^{AD}\eta ^{BE}\eta ^{CF}-{\frac {1}{12}}H^{AD}H^{BE}H^{CF}-{\frac {1}{6}}\eta ^{AD}\eta ^{BE}\eta ^{CF}\right)+\exp(2\phi )(\eta ^{AB}-H^{AB})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22a0860eef4321a798906a681b9c16de0829bce)
![{\displaystyle S_{2}=F_{A}F_{B}(\eta ^{AB}-H^{AB})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c5334758b5c786fd95f53cbd39a0b2e6ee0e16)
![{\displaystyle F_{A}=\eta ^{BC}\Omega _{BCA}+2E_{A}{}^{M}\partial _{M}\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac010c49ba076c475b61063acf2477b0c421251)
여기서
는 딜라톤 스칼라장이다. 이는
위의,
구조를 보존하는 미분 동형 사상들을 대칭으로 갖는다.
장방정식[편집]
위 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.[1]:(3.81)
![{\displaystyle S_{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36ce5283cd9800df60f9ccd6f49f5c34228b694)
![{\displaystyle 2(H^{C[A}-\eta ^{D[C})\partial ^{B]}F_{C}+(F_{C}-\partial -C)F^{C[AB]}+F^{CD[A}F_{CDE}\eta ^{B]E}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42fb37cf05d6736685d8e39f9da71eb83108a44)
이들은 각각
및
에 대한 오일러-라그랑주 방정식이다.
단면 조건[편집]
위의 장들은
차원의 매끄러운 다양체 위에 정의된다. 실제 시공간은
차원이므로, 올바른 수의 자유도를 갖추기 위하여 조건을 부여해야 한다. 이는 단면 조건(영어: section condition)이라고 하며, 스칼라장
에 대하여 다음과 같은 꼴이다.[1]:(3.29), (3.30)
![{\displaystyle \eta ^{MN}\partial _{M}\partial _{N}\Phi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b48c3a03400c2add3f66709f13d256da4e50c3)
워런 시걸(영어: Warren Siegel)이 1993년에 도입하였다.[2][3]
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 Aldazabal, Gerardo; Marqués, Diego; Núñez, Carmen (2013). “Double field theory: a pedagogical review”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 30: 163001. arXiv:1305.1907. doi:10.1088/0264-9381/30/16/163001.
- ↑ Siegel, Warren (1993). “Superspace duality in low-energy superstrings”. 《Physical Review D》 (영어) 48: 2826. arXiv:hep-th/9305073.
- ↑ Siegel, Warren (1993). “Two vierbein formalism for string inspired axionic gravity”. 《Physical Review D》 (영어) 47: 5453. arXiv:hep-th/9302036.
외부 링크[편집]