이론물리학에서 최소 모형(最小模型, 영어: minimal model)은 중심 전하가 1 미만인 유리 2차원 등각 장론(rational conformal field theory, 일차장이 유한개인 등각 장론)이다.
비초대칭 최소 모형[편집]
유니터리 최소 모형은 하나의 정수
![{\displaystyle k=0,1,2,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e06b69a163e607d10bcd0874c092df7b3a5de2)
으로 정의된다. 이는
![{\displaystyle {\frac {{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{1}}{{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a35664f22d87f1096920b8f8936421b8aa9b42f9)
잉여류로 정의되며,[1]:104 이 경우 중심 전하는
![{\displaystyle c={\frac {3k}{k+2}}+1-{\frac {3(k+1)}{k+3}}=1-{\frac {6}{(k+2)(k+3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40000aa7b5632fecd9c638061f35df296404584b)
이 된다.
최소 모형은 다음과 같은 무게의 일차장들을 가진다.
![{\displaystyle h=h_{r,s}(c)={\frac {((k+3)r-(k+2)s)^{2}-1}{4(k+2)(k+3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d213ac8d66548f21311b55612c13eb4ad5d11509)
여기서
![{\displaystyle r=1,2,3,\dots ,k+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db057ad6099037ae675b4ca475399199c01e4b12)
![{\displaystyle s=1,2,3,\dots r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd22cf2418bcd7e043f91aeefb092d6df966227)
이다.
최소 모형은 여러 격자 모형의 임계 현상을 나타낸다. 처음 몇 개의 최소 모형은 다음과 같다. (1차장들의 목록에서, 진공
은 생략하였다.)
k |
중심 전하 c |
1차장 무게 h |
설명
|
1 |
1/2 |
1/16, 1/2 |
임계 이징 모형. 여기서 일차장들은 각각 단위원, 스핀 밀도, 에너지 밀도이다.
|
2 |
7/10 |
3/80, 1/10, 7/16, 3/5, 3/2 |
삼중 임계(tricritical) 이징 모형
|
3 |
4/5 |
1/40, 1/15, 1/8, 2/5, 21/40, 2/3, 7/5, 13/8, 3 |
임계 3상태 포츠 모형
|
4 |
6/7 |
1/56, 1/21, 5/56, 1/7, 3/8, 10/21, 33/56, 5/7, 4/3, 85/56, 12/7, 23/8, 22/7, 5 |
삼중임계(tricritical) 3상태 포츠 모형
|
𝒩=1 초등각 최소 모형[편집]
초등각 장론의 유니터리 최소 모형들은 잉여류
![{\displaystyle {\frac {{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{2}}{{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k+2}}}\qquad (k=1,2,3,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738af537d58a1ecb9a69c6b4002533dc7a545405)
에 의하여 정의된다.[1]:175
의 중심 전하는
이므로,
최소 모형의 중심 전하는 다음과 같다.[1]:106[1]:174–175
![{\displaystyle c={\frac {3k}{k+2}}+{\frac {3}{2}}-{\frac {3(k+2)}{(k+4)}}={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {8}{(k+2)(k+4)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fadd7df6351eacc721053da3d916d24191181caf)
이들은 다음과 같은 무게의 1차장들을 갖는다.[2][3]
![{\displaystyle h_{r,s}={\frac {((k+4)r-(k+2)s)^{2}-4}{8(k+2)(k+4)}}+{\frac {1}{32}}(1-(-1)^{r-s})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16e933b9bdeefcd083a9e44526d990da236fef5)
여기서
이며,
에 대한 조건은 다음과 같다.
- 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건에서는
는 짝수이며,
이다.
- 라몽(R) 경계 조건에서는
는 홀수이며, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle 1\leq s\leq {\begin{cases}r-1&r\leq (k+1)/2\\r+1&r>(k+1)/2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1198ea80f87fe7df630e47e53cd94b96c883165c)
이에 따라, 진공을 포함해 총
개의 초1차장이 존재하며, 그 가운데 절반은 느뵈-슈워츠 경계 조건에, 나머지 절반은 라몽 경계 조건에 속한다. 또한, 짝수
의 경우 라몽 바닥 상태(
인 상태)가 하나 존재한다.
처음 몇 개의
최소 모형은 다음과 같다. NS 비라소로 1차장 가운데, 진공 (
) 및
를 가하여 얻을 수 있는 것들은 생략하였다.
k |
중심 전하 c |
NS 1차장 |
R 1차장 |
설명
|
1 |
7/10 |
1/10 |
7/16, 3/80
|
삼중 임계 이징 모형 ( 비초대칭 최소 모형)의 불변 부분[1]:175[2]
|
2 |
1 |
1/16, 1/6, 1 |
3/8, 1/24, 9/16, 1/16
|
반지름이 인 원 위의 시그마 모형. 최소 모형과 같음[4][5]
|
3 |
81/70 |
3/70, 9/10, 3/70, 8/7, 3/14 |
27/80, 269/560, 29/560, 31/16, 73/112, 9/112
|
4 |
5/4 |
1/32, 1/12, 5/32, 1/4, 5/6, 33/32, 5/4, 3 |
5/96, 1/16, 3/32, 5/16, 41/96, 9/16, 23/32, 29/16, 67/32
|
𝒩=2 초등각 최소 모형[편집]
초등각 장론의 경우, 유니터리 최소 모형들은 다음과 같다.[1]:178–179
![{\displaystyle c={\frac {3k}{k+2}}\qquad (k=1,2,3,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef0a06664ddb68f0fed216bd39c80b1d9753d4a)
이들은
![{\displaystyle {\frac {{\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {u}}}(1)_{2}}{{\widehat {\mathfrak {u}}}(1)_{k+2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499db6c62d717dbee917cae69666f2ad2d0c2afa)
잉여류로 정의할 수 있다.[1]:188 이 경우
의 중심 전하는
이며
의 중심 전하가
이므로, 올바른 중심 전하를 얻는다.
장들의 목록[편집]
최소 모형에 포함되는 비라소로 1차장들은 세 개의 수
로 정해지며,[6]
여기서
![{\displaystyle l=0,1,2,\dots ,k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7253e7e46bf38d71811c8253a619c1f8c05f4f)
![{\displaystyle m\in \mathbb {Z} /(2k+4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e354c296146c3e372d0429f9087fdb0a30d5016d)
![{\displaystyle s\in \mathbb {Z} /4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7090214ce854775689977bf209764b6a4db28d27)
![{\displaystyle l+m+s\equiv 0{\pmod {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc2a3c1ed864fcb7d6ed95367fc9fdb4bd64b3a)
이며,
![{\displaystyle (l,m,s)\sim (k-l,m+k+2,s+2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ae5db0018a65d6247e1b2259da05dfe6ac1153)
이면 같은 등각장을 나타낸다.
가 짝수인 경우는 느뵈-슈워츠 (NS) 경계 조건에, 홀수인 경우는 라몽 (R) 경계 조건에 속한다. 만약
![{\displaystyle |m-s|\leq l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd02497c2c68c64bad7526d3bd72fa8cb6aa766)
이라면, 이에 대응하는 R대칭 전하
및 등각 무게
는 다음과 같다.
![{\displaystyle q=-{\frac {m}{k+2}}+{\frac {s}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73506a42c4faac9172a8fbc409c577244979c6e4)
![{\displaystyle h={\frac {l(l+2)-m^{2}}{4(k+2)}}+{\frac {s^{2}}{8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fb9ed7262eb44d69ff1589b0cbc336417742383)
스펙트럼 흐름에 따라, 장들은 다음과 같이 변환한다.
![{\displaystyle (l,m,s)\mapsto (l,m-2\eta ,s-2\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db83091068016b470b7a5c1e1a58e3626ba5ddf)
이에 따라
![{\displaystyle h_{l,m,s}\mapsto h_{l,m,s}-\eta q+\eta ^{2}c/6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd825dba81c1d183fa6c13df24c7f59af86a3f7)
![{\displaystyle q_{l,m,s}\mapsto q_{l,m,s}-c\eta /3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50df42fbd0f52be2a076f7a6b32c367dfb427a98)
이 된다.
NS 장[편집]
NS 경계 조건의 초1차장들은
![{\displaystyle 0\leq l\leq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a8dcbefd3c9a9d4a76c30729fcbcbc9d2d63b2)
![{\displaystyle -l\leq m\leq l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5797c268f6e3c6f1753abb4c63be943ee1b18445)
![{\displaystyle s=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7903b8069a44c70f6f96511675bdd9a4ff200ed7)
에 대응하며, 총
개가 있다.
최소 모형의 장 가운데, 손지기장(영어: chiral field,
인 장)은
,
인 것들이며, 반손지기장(영어: antichiral field,
인 장)은
,
인 것들이다. 이들은 (진공을 제외하고) 각각
개가 있다. 라몽 바닥 상태(
인 장)는
인 것들이며, 이 경우
이다. 이들은 총
개가 있으며, 이들은 진공을 포함한 손지기장과 대응한다.
손지기장들의 경우,
코호몰로지를 취하여 환으로 만들 수 있다. 이 손지기환은 다항식환의 몫환
![{\displaystyle H^{\bullet }({\mathcal {H}}_{k},G_{-1/2}^{+})\cong \mathbb {C} [x]/(x^{k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f6d3a6588c338a04c1840d9147a96100459aa0)
이다. 여기서
은
에 대응한다.
R 장[편집]
R 경계 조건의 초1차장들은
![{\displaystyle 0\leq l\leq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a8dcbefd3c9a9d4a76c30729fcbcbc9d2d63b2)
![{\displaystyle m\in [-l+1,l-1]\cup \{l+1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e845bdff304d02de75bfe52373d315a5f13a461)
![{\displaystyle s=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac386d8f227fb823cede9b3e33d706cad3ed306)
에 대응하며, 이 가운데
인 경우는 라몽 바닥 상태이다. NS장과 마찬가지로 총
개의 라몽 초1차장이 존재하며, 이 가운데
개는 라몽 바닥 상태,
개는 바닥 상태가 아닌 다른 라몽 초1차장이다.
처음 몇 개의
최소 모형들은 다음과 같다. NS 1차장 가운데, 진공 및 수록된 것들에
또는
를 가하여 얻을 수 있는 것은 생략하였다.
k |
중심 전하 c |
진공을 제외한 (반)손지기장의 전하 q |
기타 NS 장 ![{\displaystyle (h,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4650b502ef6db04c4c6eccaf5ca9cf65ec555b2) |
R 바닥 상태 q |
기타 R 장 ![{\displaystyle (h,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4650b502ef6db04c4c6eccaf5ca9cf65ec555b2) |
설명
|
1 |
1 |
±⅓ |
(없음) |
±⅙ |
(⅜,±½)
|
반지름이 인 원 위의 시그마 모형. 최소 모형과 같음[4][5]
|
2 |
3/2 |
±¼, ±½ |
(½,0) |
0, ±¼ |
(5/16,±½), (9/16,±¼), (9/16,±¾)
|
3 |
9/5 |
±⅕, ±⅖, ±⅗ |
(⅖,0), (7/10,±⅕) |
±1/10, ±3/10 |
(11/40,±½), (19/40,±3/10), (19/40,±7/10), (27/40,±1/10), (27/40,±9/10), (7/8,±1/2)
|
4 |
2 |
±⅙, ±⅓, ±½, ±⅔ |
(⅓,0), (7/12,±⅙), (⅔,±⅔), (¾,±½), (⅚,±⅓), (1,0), (4/3,±⅔) |
0, ±⅙, ±⅓ |
(생략)
|
c=½ 최소 모형[편집]
최소 모형은 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있다.[7] 하나는 이징 모형의 임계점이며, 다른 하나는 자유 마요라나-바일 페르미온 이론이다.
이징 모형 표현[편집]
(외부 자기장이 없는) 2차원 이징 모형은
대칭을 가지며, 낮은 온도에서는 모든 스핀이 위 또는 아래로 정렬돼 있는 상을 보이지만 높은 온도에서는 무질서 상을 보인다. 이 두 상 사이에는 2차 상전이가 존재하며, 이 임계 온도에서 이징 모형은
최소 모형으로 나타내어진다.
2차원 이징 모형에서, 각 스핀이
이라고 하자. 그렇다면 평균 스핀 장
을 생각할 수 있다. 그 2점 함수는
![{\displaystyle \langle \sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\rangle \sim d(\alpha ,\beta )^{-\eta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37dd97a2256bdba869c6e8970047b731ba3beba6)
의 꼴을 갖는다. 여기서
는 두 점 사이의 거리이다. 또한, 평균 에너지 장
![{\displaystyle \epsilon _{\alpha }=\sum _{(\alpha ,\beta )}\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f22641e6fc18c43a6f07c14820a5f9f1cb929e4)
를 생각하자. 여기서
는
와 근접한 모든
에 대한 합이다. 그렇다면 2점 함수
![{\displaystyle \langle \epsilon _{\alpha }\epsilon _{\beta }\rangle \sim d(\alpha ,\beta )^{2/\nu -2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd05c03fd3428528830171b00a38fc2eaf778cb)
를 정의할 수 있다. 이 경우, 임계 지수
와
는
최소 모형에 포함된, 진공이 아닌 나머지 두 장의 등각 무게를 정의한다. 즉, 평균 스핀 장은 무게가
인 스칼라장에, 평균 에너지 장은
인 스칼라장에 대응한다.
자유 페르미온[편집]
2차원 마요라나-바일 스피너장
는 하나의 반가환수 성분을 갖는다. 이 장은 운동 방정식에 따라서
![{\displaystyle \psi (z,{\bar {z}})=\psi (z)+{\bar {\psi }}({\bar {z}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666a11b34421a308f1fed9287012cea8fdce4386)
와 같은 꼴로, 정칙 성분과 반정칙 성분의 합으로 분해된다. 이 경우,
는 무게가
인 장이며,
는 무게가
인 장이다.
스피너장의 경우, 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건과 라몽(R) 경계 조건을 줄 수 있다. 이 두 경계 조건 사이를 전환하는 연산자가 존재하며, 뒤틀림장(영어: twist field)이라고 한다.[7]:§6.2 정칙 성분의 뒤틀림장은
, 반정칙 성분의 뒤틀림장은
이다.
정칙 자유 페르미온의 이론은
정칙 최소 모형을 이룬다. 비정칙 자유 페르미온의 이론에서, 보손장들만으로 구성된 부분 이론을 취하면 이는 임계 이징 모형과 같게 된다. 즉, 이 경우
는 무게
인 스칼라장이 되며, 뒤틀림장도 마찬가지다. 이는 보손화의 기초적인 예이다.
c=7/10 최소 모형[편집]
최소 모형은 삼중 임계 이징 모형(영어: tricritical Ising model)의 임계점 근처 현상을 나타낸다.[8] 삼중 임계 이징 모형에서 각 스핀은
의 값을 가지며, 이 경우 해밀토니언은
![{\displaystyle H=K\sum _{\langle ij\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}-\Delta \sum _{i}\sigma _{i}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06dfe19a0f1ef8a2d01eacb38b31b269e85fa9c1)
이다. 이 이론에서는 온도
및 (입자수
에 대응하는) 퓨가시티
를 조절할 수 있다. 만약 퓨가시티가
이라면, 이는 이징 모형과 같으며, 일정한 온도
에서 2차 상전이가 존재한다. 반대로,
이며
인 경우 어떤
에서 1차 상전이가 존재한다. (
이라면 두 개의 독립된 바닥 상태가 존재하지만,
라면 입자수 밀도가 0으로 가 하나의 바닥 상태가 존재하기 때문이다.) 따라서,
와
를 둘 다 조절한다면, 1차 상전이가 2차 상전이로 바뀌는 시점이 존재한다. 이를 삼중 임계 이징 모형의 삼중점(영어: tricritical point)이라고 하며, 삼중점에서의 임계 현상은
최소 모형으로 나타내어진다.
이 경우, 각 등각 1차장들은 다음과 같이 대응한다.[9]
무게 ![{\displaystyle (h,{\bar {h}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb57c1a1f2c2c235985377a2eaac9b462a03c997) |
설명
|
(0,0) |
진공
|
(3/80,3/80) |
평균 스핀 (자기화)
|
(7/16,7/16) |
자기화 준밀도(영어: subleading magnetization density)
|
(1/10,1/10) |
에너지 밀도
|
(3/5,3/5) |
양공 밀도(영어: vacancy) = 에너지 밀도의 초대칭짝
|
(3/2,3/2) |
에너지 준밀도(영어: subleading energy density) = 초전류
|
c=1 초대칭 최소 모형[편집]
초대칭 최소 모형은 반지름이
인 원 위의 시그마 모형으로 나타낼 수 있다.[4][5] 이 경우, 주기 경계 조건과 호환되는 스칼라장
의 지수들은 다음과 같다.
![{\displaystyle O_{n,{\bar {n}}}=\exp(i(n\psi (z)+{\bar {n}}{\bar {\psi }}({\bar {z}}))/{\sqrt {12}})\qquad (n,{\bar {n}}\in \mathbb {Z} ;\;n-{\bar {n}}\equiv 0{\pmod {6}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c4b230e8871aa4e4f559a76321650250be902c)
![{\displaystyle \left(h(O_{n,{\bar {n}}}),{\bar {h}}(O_{n,{\bar {n}}})\right)=(n^{2}/24,{\bar {n}}^{2}/24)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8834fdcdc9a8e38ea83e972a5482284fcc8fca6d)
![{\displaystyle \left(q(O_{n,{\bar {n}}}),{\bar {q}}(O_{n,{\bar {n}}})\right)=(n/6,-{\bar {n}}/6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69996992c99a407880f79518b37771b2cfb79032)
이 경우,
과
이 짝수라면 느뵈-슈워츠 경계 조건, 홀수라면 라몽 경계 조건에 해당한다.
이 이론에서
초등각 대수의 표현은 다음과 같다.
![{\displaystyle Q^{\pm }(z)=O_{\pm 6,0}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ffdb954e334a95eba35ffa7821a4b1d6affa13)
![{\displaystyle {\bar {Q}}^{\pm }({\bar {z}})=O_{0,\mp 6}({\bar {z}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f22fe71d91ab9f39c542760195bbe43425e18c3a)
![{\displaystyle J(z)=i\partial \phi (z)/{\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/070dbe9ae4dde5136c59ed45ef8f4149c9c501ae)
![{\displaystyle {\bar {J}}({\bar {z}})=-i{\bar {\partial }}{\bar {\phi }}({\bar {z}})/{\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267db32a3eed66984057fa61e408c40e017d7efb)
이 경우, NS 및 R 장들은 다음과 같이 대응된다. 아래 표에서 항상
,
이다.
![{\displaystyle (h,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4650b502ef6db04c4c6eccaf5ca9cf65ec555b2) |
|
NS (반)손지기장 ![{\displaystyle (1/6,\pm 1/3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ba27214da16229cc628a2246498a8491fa58a1) |
|
라몽 바닥 상태 ![{\displaystyle (1/24,\pm 1/6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b851d676f6fdc8ef43a7a54194539086009cdd7) |
|
라몽 상태 ![{\displaystyle (3/8,\pm 1/2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b8b6755965265ece6c0f0920ec635883982881) |
|
이 밖의 다른 상태들은 위 상태들에
를 가하여 얻어진다. 예를 들어,
는
에
를 가하여 얻는다.
이 모형에,
와 같은 오비폴드를 취하자. 그렇다면 R대칭 전하가 부호만 다른 장들이 서로 같은 장이 되고, 또 오비폴드로 인하여 뒤틀린 장들이 추가된다. 이렇게 하면,
초대칭 최소 모형을 얻는다.
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105.
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외부 링크[편집]