리 군 이론에서, 킬링 형식(Killing形式, 영어: Killing form)은 리 대수 위에 자연스럽게 존재하는 대칭 쌍선형 형식이다.[1][2] 리 대수의 딸림표현의 곱의 대각합이다.
추상적 정의[편집]
가환환
위의 리 대수
가 주어졌다고 하고, 또한
가 유한 차원
-자유 가군이라고 하자. 이제,
의 딸림표현
![{\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}};k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348ccdd43ea6532e7aa9d0d3d5b216e15bba67fa)
![{\displaystyle \operatorname {ad} (x)\colon y\mapsto [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6a50950ccf39a1bedd5bb8ab1bb5b168ea42c5)
를 생각하자. 그렇다면,
의 킬링 형식
![{\displaystyle B\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4886354767bf47c5724af321e9cb479b49aa0879)
는 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식이다.
![{\displaystyle B(a,b)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {ad} (a)\operatorname {ad} (b)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f7e72187db487a887cb40159c7b47df3c55f5e)
여기서 대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.
리 초대수의 경우[편집]
보다 일반적으로, 체
위의 리 초대수
가 주어졌다고 하고, 또한
가 유한 차원
-초벡터 공간이라고 하자. 이제,
의 딸림표현
![{\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}};K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d027c1bbcf009e4464c80335b8b3469309cb65e)
![{\displaystyle \operatorname {ad} (x)\colon y\mapsto [x,y\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343b567e9d0ab9c094e9c37a4f701995a732d8cf)
를 생각하자. 그렇다면,
의 킬링 형식
![{\displaystyle B\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4886354767bf47c5724af321e9cb479b49aa0879)
는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.[3]:§23
![{\displaystyle B(a,b)=\operatorname {str} \left(\operatorname {ad} (a)\operatorname {ad} (b)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b17bd9cbc58ce6620eae44f1e897b2bee0373c3)
여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.
성분을 통한 정의[편집]
체 위의 유한 차원 리 대수
의 기저
를 잡고, 이에 대한 구조 상수가
![{\displaystyle [x_{i},x_{j}]=f_{ij}{}^{k}x_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e711c2df6da7b72248e945999ad9ae2bb112fa6)
라고 하자. 그렇다면,
의 킬링 형식은 다음과 같다.
![{\displaystyle B(x_{i},x_{j})=B_{ij}=\sum _{k}\sum _{l}f_{ik}{}^{l}f_{jl}{}^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c701f657fc58fd9a18fd2f17fda93a124c4d36)
킬링 형식은 대각합의 순환성(
)에 의하여 대칭 쌍선형 형식을 이룬다.
킬링 형식은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.
![{\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0f7f8b409bc2cd64607e8cb5a1a2d95bd2708c)
리 초대수의 킬링 형식[편집]
체
위의 유한 차원 리 초대수
의 킬링 형식
는 다음과 같은 성질을 갖는다.[3]:§23
![{\displaystyle B({\mathfrak {g}}_{0},{\mathfrak {g}}_{1})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305e3a325f8423378f69c2a0ad5d7474f3c348be)
![{\displaystyle B(x,y)=(-)^{\deg x\deg y}B(y,x)\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}_{0}\cup {\mathfrak {g}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e8044b94f51aee43c0f82c4352833456c9489d)
![{\displaystyle B([x,y\},z)=B(x,[y,z\})\qquad \forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df126262ff12607de6cf0efa099d00dd242d48a4)
단순 리 대수의 경우와 달리, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수는 킬링 형식이 0일 수 있다. 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수 가운데, 킬링 형식이 0인 것은 다음과 같다.[3]:§23
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n|n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0a922ebff88657f01b6d82de28a07a52763ea9)
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c7bead1ceabbe45066fb41c1ba618a886d64bc)
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(2n+2|2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406cb602eda750378769cc25a226b067a3663008)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b639ea11fe6cb23c46bb8e6254b5bf59be45c7e4)
![{\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a8d851f0ab1ed956cfe9061477ddcdd3371475)
나머지 단순 리 초대수는 모두 0이 아닌 킬링 형식을 갖는다.
체
위의 두 유한 차원 리 (초)대수
,
에 대하여, 그 직합
의 킬링 형식은 다음과 같다.
![{\displaystyle B_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}'}(x\oplus x',y\oplus y')=B_{\mathfrak {g}}(x,y)+B_{\mathfrak {h}}(x',y')\qquad (x,y\in {\mathfrak {g}},\;x',y'\in {\mathfrak {g}}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b99cb37e79051f2182e1379521170e3366a231)
실수체 위의 리 대수[편집]
만약
가 단순 리 대수라면 위 항등식을 만족하는 모든 형식은 킬링 형식의 스칼라배이다.
리 대수가 반단순 리 대수인 필요 충분 조건은 그 킬링 형식이 비퇴화 쌍선형 형식인 것이다. 이를 카르탕 조건(Cartan條件, 영어: Cartan criterion)이라고 한다.
실수체 위의 콤팩트 리 대수의 킬링 형식은 항상 음의 정부호 쌍선형 형식이다.
아벨 리 대수[편집]
임의의 체
위의 유한 차원 아벨 리 대수
의 킬링 형식은 항상 0이다.
행렬 리 대수[편집]
임의의 체
및 자연수
에 대하여, 일반 선형 리 대수
의 킬링 형식은 다음과 같다.
![{\displaystyle B_{{\mathfrak {gl}}(n)}(X,Y)=2n\operatorname {tr} (XY)-2\operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84fb7df5d9e6331453f546a74baf5d15fcf30c8)
또한, 특수 선형 리 대수
의 킬링 형식은 다음과 같다.
![{\displaystyle B_{{\mathfrak {sl}}(n)}(X,Y)=2n\operatorname {tr} (XY)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89b686d94fe947f4d92ae4d2319b685e100aa44)
증명:
편의상,
의 기저
가
번째 성분만이 1이며, 나머지 성분이 모두 0인 행렬이라고 하자. 그렇다면,
![{\displaystyle [M,e_{ij}]_{ab}=\delta _{jb}M_{ai}-\delta _{ia}M_{jb}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df24b635477bca86db852fe2a571613e9861906d)
이다. 이제, 야코비 항등식에 의하여,
![{\displaystyle [M,[N,e_{ij}]]+[e_{ij},[M,N]]+[N,[e_{ij},M]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97226dcc9e252566cf976f49342b6c3c3b53d47)
이다. 따라서,
![{\displaystyle c_{ij}=([M,[N,e_{ij}])_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd2b9bf56e9091588a67b237b0286077f8249a2)
![{\displaystyle B(M,N)=\sum _{ij}c_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b66f00324224bac90b093a5bb5bc55179d74f2)
라고 놓으면,
![{\displaystyle c_{ij}=\left(\sum _{a=1}^{n}M_{ia}N_{ai}\right)-M_{ii}N_{jj}-N_{ii}M_{jj}+\left(\sum _{a=1}^{n}N_{ja}M_{aj}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f767a6759be740a3e05ed471f3640cfc93b8bdae)
가 된다. 따라서,
![{\displaystyle B(M,N)=\sum _{i,j=1}^{n}\left(\left(\sum _{a=1}^{n}M_{ia}N_{ai}\right)-M_{ii}N_{jj}-N_{ii}M_{jj}+\left(\sum _{a=1}^{n}N_{ja}M_{aj}\right)\right)=2n\operatorname {tr} (MN)-2\operatorname {tr} M\operatorname {tr} N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41401a5a51e9d747896ce956b064abb9baf8f503)
이다.
특수 선형 리 대수의 경우, 표준적인 분해
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;K)\oplus K\cong {\mathfrak {gl}}(n;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c88e1b6eb21b8d9af6197c16f4c72c6a4f1855b)
아래, 아벨 리 대수
의 킬링 형식이 0이므로, 이는 일반 선형 리 대수의 경우의 표현을 그대로 사용할 수 있다. (물론, 이 경우 둘째 항이 0이 된다.)
행렬 리 대수의 경우, 킬링 형식은 다음과 같다.
리 대수 |
설명 |
킬링 형식
|
gl(n, ℂ) |
n×n 복소수 행렬 |
2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y)
|
sl(n, ℝ) |
n×n 무대각합 복소수 행렬 |
2n tr(XY)
|
su(n) |
n×n 반에르미트 행렬 |
2n tr(XY)
|
so(n, ℝ) |
n×n 반대칭 실수 행렬 |
(n−2) tr(XY)
|
so(n, ℂ) |
n×n 반대칭 복소수 행렬 |
(n−2) tr(XY)
|
sp(2n, ℝ) |
2n×2n 실수 해밀턴 행렬 |
(2n+2) tr(XY)
|
sp(2n, ℂ) |
2n×2n 복소수 해밀턴 행렬 |
(2n+2) tr(XY)
|
리 대수의 계량과 이중 콕서터 수[편집]
단순 리 대수의 경우, 통상적으로 계량을 긴 근의 길이가
가 되게 규격화한다.[4]:27[5]:§13.1.10 이 경우 짧은 근의 길이는 Bn, Cn, F4인 경우 1 또는 G2의 경우
이다. 이렇게 규격화할 경우, 계량 형식은 다음과 같다.[6]
리 대수 |
행렬 표현 |
규격화 계량 형식
|
su(n) |
n×n 반에르미트 행렬 |
− tr(XY)
|
so(n, ℝ) |
n×n 반대칭 행렬 |
− ½tr(XY)
|
usp(2n)
|
2n×2n 반에르미트 해밀턴 행렬 |
− tr(XY)
|
n×n 사원수 반에르미트 행렬 |
− tr(XY + YX)
|
e6 |
27×27 반에르미트 행렬 |
− (9/4) tr(XY)
|
e7 |
56×56 반대칭 행렬 |
− (3/2) tr(XY)
|
e8 |
248×248 반대칭 행렬 |
− (41/10) tr(XY)
|
f4 |
26×26 반대칭 행렬 |
− (4/3) tr(XY)
|
g2 |
7×7 반대칭 행렬 |
− (5/8) tr(XY)
|
이렇게 계량 형식을 규격화하면, 3차원 초구로부터의 임의의 연속 함수
에 대하여 항상
![{\displaystyle {\frac {1}{48\pi }}\int _{G}\langle g^{-1}dg,[g^{-1}dg,g^{-1}dg]\rangle \in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c61eb880d06180c88f61d14087a419acf8b3b2df)
이다.[6]
이렇게 규격화한 계량 형식을
로 놓으면,
![{\displaystyle K=-2h^{\vee }\langle \cdot ,\cdot \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73118cc3ae9b42410802df7a1a3f155eb0d3c67)
이다.[7]:§6.1[5]:§13.1.2 여기서
는 단순 리 대수의 이중 콕서터 수(영어: dual Coxeter number)이다. (이는 빅토르 카츠가 도입하였고, 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다.) 이는 다음 표와 같다.
엘리 카르탕이 1894년에 도입하였다.[8] 독일 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 땄다.
같이 보기[편집]
- ↑ Bump, Daniel (2004). 《Lie Groups》. Graduate Texts In Mathematics (영어) 225. Springer. ISBN 978-0-387-21154-1.
- ↑ Fuchs, Jurgen (1992). 《Affine Lie Algebras and Quantum Groups》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X.
- ↑ 가 나 다 Frappat, L.; Sciarrino, A.; Sorba, P. (1996년 7월). “Dictionary on Lie superalgebras” (영어). arXiv:hep-th/9607161. Bibcode:1996hep.th....7161F.
- ↑ Slansky, R. (1981년 12월). “Group theory for unified model building”. 《Physics Reports》 (영어) 79 (1): 1–128. Bibcode:1981PhR....79....1S. doi:10.1016/0370-1573(81)90092-2. ISSN 0370-1573.
- ↑ 가 나 Di Francesco, Philippe; Pierre Mathieu, David Sénéchal (1997). 《Conformal field theory》. doi:10.1007/978-1-4612-2256-9. ISBN 978-1-4612-7475-9.
- ↑ 가 나 Hori, Kentaro. “Some notes on compact Lie groups” (PDF). 2013년 12월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 12월 3일에 확인함.
- ↑ Kac, Victor G. (1990). 《Infinite Dimensional Lie Algebras》 3판. doi:10.1017/CBO9780511626234. ISBN 9780521466936.
- ↑ Cartan, Élie (1894). 《Sur la structure des groupes de transformations finis et continus》. Thesis. Nony.
외부 링크[편집]